Toán học của đại dịch zombie: mô hình SIR và dịch tễ học thật

Năm 2009, một nhóm nhà toán học ở Canada do Robert J. Smith? dẫn dắt đã dựng mô hình toán học cho một đợt bùng phát zombie, dựa trên mô hình SIR mà các nhà dịch tễ dùng để mô tả dịch bệnh thật. Kết luận của họ: với zombie kiểu phim, cách ly hay tìm thuốc chữa đều không đủ, chỉ có phản ứng thật nhanh và quyết liệt từ sớm mới ngăn được thảm hoạ. Bài báo nửa đùa nửa thật này trở thành một trong những cách dạy dịch tễ học dễ nhớ nhất.

Mô hình SIR là gì

Mô hình SIR do hai nhà khoa học người Scotland, William Kermack và Anderson McKendrick, đặt nền móng năm 1927. Ý tưởng là chia dân số thành ba "ngăn":

• S (Susceptible): người có thể bị nhiễm, chưa mắc bệnh.
• I (Infected/Infectious): người đang nhiễm và có thể lây.
• R (Removed/Recovered): người đã khỏi và có miễn dịch, hoặc đã tử vong; nói chung là không còn tham gia lây lan.

Mỗi ngày, một phần người trong S chuyển sang I (do tiếp xúc với người bệnh), một phần người trong I chuyển sang R (khỏi hoặc mất). Hai con số quan trọng nhất:

• β (beta): tốc độ lây, phụ thuộc vào mức tiếp xúc và khả năng lây của mầm bệnh.
• γ (gamma): tốc độ "rời khỏi" nhóm đang lây, tức là nghịch đảo của thời gian một người còn lây được.

Tỷ số β/γ cho ra R0, số người trung bình mà một ca bệnh lây cho, trong một quần thể chưa ai có miễn dịch. R0 lớn hơn 1 thì dịch có thể bùng; nhỏ hơn 1 thì dịch tự tắt dần.

Thêm một ngăn: mô hình "SZR" cho zombie

Bài báo "When zombies attack!: Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection" của Philip Munz, Ioan Hudea, Joe Imad và Robert J. Smith? (dấu hỏi là một phần tên ông thật, không phải lỗi gõ) được in năm 2009 trong một tuyển tập nghiên cứu về mô hình bệnh truyền nhiễm. Các tác giả là nhóm ở Đại học Ottawa và Đại học Carleton.

Họ biến đổi SIR thành ba ngăn mới:

Chính mũi tên cuối cùng, từ R quay về Z, làm mọi thứ khác hẳn. Trong dịch bệnh thật, người đã khỏi hoặc đã mất thì ra khỏi vòng lây. Với zombie, cái chết lại "nạp thêm" quân cho phía bên kia. Ngăn R trở thành một kho chứa có thể tuôn ngược trở lại.

Họ thử những kịch bản nào, kết quả ra sao

Nhóm tác giả chạy mô hình với các giả định khác nhau về cách con người phản ứng:

1. Không làm gì: zombie lan nhanh, cuối cùng toàn bộ người sống bị nhiễm hoặc chết. Trong mô hình không có điểm cân bằng nào mà người và zombie cùng tồn tại.
2. Cách ly: đưa người nhiễm vào khu cách ly. Nếu cách ly đủ tốt thì làm chậm dịch, nhưng với giả định zombie lây mạnh và luôn có một số thoát ra, kết quả cuối cùng vẫn là thảm hoạ.
3. Có thuốc chữa: biến zombie trở lại thành người, nhưng người được chữa vẫn có thể bị cắn lại. Kết quả: người và zombie cùng tồn tại, với số người sống nhỏ. Tốt hơn nhưng không giải quyết.
4. Phản ứng quyết liệt, lặp lại nhiều đợt, với cường độ tăng dần: đây là kịch bản duy nhất trong mô hình xoá được ổ dịch, với điều kiện bắt đầu sớm.

Thông điệp chung, gác chuyện zombie sang một bên, rất gần với dịch tễ học thật: thời gian là yếu tố quyết định. Một ổ dịch nhỏ được xử lý ngay thì rẻ và dễ; để nó lớn lên rồi mới phản ứng thì mọi biện pháp đều chậm một nhịp.

Thử tự tính một ví dụ đơn giản

Không cần phương trình vi phân, ta có thể hình dung bằng phép nhân. Giả sử ở một thị trấn 10.000 người:

• Mỗi zombie trung bình cắn trúng 2 người sống mỗi ngày.
• Người dân hạ được khoảng 20% số zombie đang có mỗi ngày.

Bắt đầu với 1 zombie. Ngày 1: thêm 2, hạ 0, còn 3. Ngày 2: thêm 6, hạ khoảng 1, còn 8. Ngày 3: thêm 16, hạ khoảng 2, còn 22. Cứ thế, số zombie tăng gần gấp ba mỗi ngày. Chỉ khoảng một tuần là phần lớn thị trấn bị nhiễm, nếu không có gì thay đổi. Thực tế số người bị cắn sẽ chậm lại khi số người sống còn ít, đó là lý do đường cong dịch có hình chữ S chứ không tăng mãi.

Giờ đổi một giả định: nếu ngay từ ngày đầu, người dân hạ được 70% số zombie mỗi ngày và hạn chế tiếp xúc để mỗi zombie chỉ cắn được 0,5 người mỗi ngày, thì số zombie giảm dần về 0. Đó chính là ý nghĩa của "đưa R0 xuống dưới 1".

Ví dụ này cố ý đơn giản hoá. Mô hình thật tính cả mật độ dân, tiếp xúc ngẫu nhiên, và số người sống giảm dần. Nhưng nó cho thấy cảm giác của hàm mũ: ban đầu tưởng nhỏ, vài ngày sau đã vượt khỏi tầm tay.

Những nghiên cứu "zombie" khác

• Năm 2015, nhóm nghiên cứu sinh ở Đại học Cornell (Alex Alemi và cộng sự) mô phỏng zombie lan khắp nước Mỹ theo mật độ dân số. Kết quả vui: các thành phố đông dân sụp nhanh, còn những vùng núi thưa người ở phía bắc dãy Rocky là nơi "trụ" lâu nhất. Bài học thật: mật độ tiếp xúc quyết định tốc độ lây.
• Năm 2014, Robert J. Smith? biên tập cả một cuốn sách tập hợp các mô hình toán học về zombie, dùng làm tài liệu giảng dạy.
• Nhiều trường đại học dùng "dịch zombie" làm bài tập nhập môn mô hình hoá, vì sinh viên dễ hình dung và không bị nặng nề như khi dùng một bệnh thật.

Zombie khác dịch bệnh thật ở đâu

Điểm cuối cùng là bài học lớn nhất mà mô hình zombie không dạy được: trong dịch bệnh thật, cách người ta tin, sợ và hợp tác quan trọng không kém con số β hay γ.

Góc nhìn hôm nay: học dịch tễ học bắt đầu từ đâu

• Tìm đọc bài báo gốc của Munz và cộng sự (2009); bài khá ngắn, có đồ thị dễ hiểu và nhiều bản lưu hành công khai.
• Thử tự mô phỏng SIR trên bảng tính: ba cột S, I, R, mỗi hàng là một ngày, thay đổi β và γ để thấy đường cong dịch thay đổi thế nào.
• Muốn học bài bản, các khoá nhập môn dịch tễ học trực tuyến của nhiều trường đại học có bản miễn phí, thường mở đầu đúng bằng mô hình SIR.
• Khi đọc một con số R0 trên báo, hãy nhớ nó phụ thuộc vào cả cách con người tiếp xúc với nhau, không phải một hằng số cố định của mầm bệnh.